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時空的幾何歷史(丘成桐教授的原文分享!)  

2010-05-18 22:33:54|  分类: 转载分享 |  标签: |举报 |字号 订阅

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時空的幾何歷史
 

丘成桐
美國哈佛大學教授

 

是學數學的,可是我跟物理學家有很多來往,受他們的影響很大,所以我今天講的是從數學的觀點來看時空。

何學家從古到今對時空有很大的興趣。從歷史來看,我們曉得從遠古時代人們就已經懂得丈量土地、觀察星體運行,也常感嘆時間就這樣慢慢不見了,所以產生時空的概念,所有民族都有類似的想法。

中國哲學家我們看到很多不同的看法。《易經》講:「太極生兩儀,兩儀生四象。」生四象就是生天地萬物的意思。《莊子》講:「天地雖大,其化均也。」;孔子講:「逝者如斯乎,不舍畫夜。」都是感嘆著時間與空間的問題。屈原《天問》裡講:「日月安屬,列星安陳?」就是在問空間的問題,與太陽、月亮和星星之間的關係。另外,最出名的是李白的文章:「夫天地者,萬物之逆旅,光陰者,百代之過客。」也表示著我們對空間和時間的思考。

然中國哲學家不停的探討時空,但總是是比不上希臘的哲學家,所以今天我們要從幾何學的觀點來看時空的歷史。希臘哲學家從很早就對時空很有興趣。例如柏拉圖,柏拉圖有個很出名的想法,他認為要做他的學生,一定要懂得幾何才行 。所以古代希臘哲學家,把幾何看為大自然的一部份,而幾何則成為描述大自然的主要工具。

臘哲學家認為空間是靜止不動的、完全不動的,這種見解持續了二十多個世紀,大致上和他們在幾何認知上的局限性有關。但希臘哲學家崇尚推理,希望從數學的美中找到自然界的真理,所以他們對時空的瞭解比任何古文化都來得先進。他們積極用正多面體(regular solid)種種不同的幾何形象,來解釋星體的運行,有著很大的興趣。

在我們引一個偉大幾何學家的談話,他叫做Cartan(1869-1951),可以說是近代幾何學家中最偉大的一個,他說:

對比其它科學而言,數學的發展更依賴於一層復一層的抽象。為了避免犯錯,數學家必須抓住問題和對象的精義,並把它們篩選出來。

也就是說,作科學和作數學的發展一樣,要一層一層的抽象出來,而

正確的推理無疑非常要緊,但更關鍵的是找到骨節眼上的問題。必須具有正確的直覺,才能夠選對最根本的問題。解決這些問題,對科學的整體發展,具有舉足輕重的作用。

們數學家解決問題時要求謹慎,可是最重要的是找到問題、正確的問題,所以這部分跟物理有很密切的關係。而對時空這個問題,就要了解清楚幾何跟物理的發展有密切的關係,這點要看得很清楚。

在我們來看看幾何學。幾何學基本的問題來自大自然,並且由問題本身的和諧典麗所啟迪,這是幾何學基本的看法。而希臘幾何學家最先利用公理來處理數學,這是劃時代的貢獻。希臘數學家以前有埃及和巴比倫的數學家,他們對數學和幾何也相當的成熟,曉得很多幾何裡面的定理,可是它們沒有發展到利用公理來處理。只有引入一系列公理,我們才對大自然的規律有清晰的了解,進而發現其奧妙來讚歎他。

代的幾何學最出名的是歐幾里得(Euclid, -325--265)的幾何學,已經有兩千多年了。歐幾里得基本上是研究點、直線、平面這些比較簡單的圖形。這裡面有兩個主要的定理,一個是畢氏定理,這大家在國中都學過,在一個直角三角形上,他的斜邊平方等於另兩邊的平方和:。第二個定理是任何一個三角形的內角和等於180度。這兩個定理是整個歐氏幾何學裡面最重要的定理。

氏幾何對以後時空研究的影響,我們可以來慢慢看一下。首先畢氏定理是平面幾何學裡面最重要的定理,因為在任何有意義的幾何空間裡面,都要求這條定理在無限小的情形下要成立,也就是在黎曼幾何和近代幾何下都要成立,這是一個重要的定理。

於三角形內角和為180度,其實就是講平面是平坦的,也就是不彎曲。Legendre(1752-1833)這個十八、十九世紀的偉大數學家,他指出三角形內角和等於180度,等價於下面這個很重要的命題,也就是歐氏第五公設。歐幾里得幾何學裡面用到好幾個公設,其中最重要但很多人不太認為它應該成立的就是第五公設,也就是過一條線外的一點,只有唯一一條直線跟這條線平行,這個第五公設跟三角形內角和是180度是等價的。

裡有個很奇妙的現象,在歐洲一千多年、兩千多年來,數學家和科學家對這個第五公設的問題,始終不停的想去研究它、證明它,這種態度跟中國人完全不一樣,中國人不太想去證明這個定理,認為這是很明顯的事實。可是西方人卻鍥而不捨,從歐幾理得一直到Lengendre都在考慮這個問題。

後,偉大的數學家高斯(Gauss, 1777-1855)和俄羅斯兩個數學家不約而同地發明了雙曲幾何,雙曲幾何就是曲率為負常數的二維曲面,當時有人傳說,高斯曾經測量歐洲山脈裡的三個山頂形成的三角形,也就是地球上的三角形內角和是不是180度。

曲幾何提出以後,一個最重要的結果是大數學家Felix Klein(1849-1925)所發明的空間,他創造了一種解析的方法,通過在單位圓盤上任意兩點的某種距離,給出雙曲幾何的一個模型,這個模型叫做Klein模型。Klein以後,終於證明了歐氏第五公理不可以由其他公理推導出來,這是一個很偉大的成果。這個想法在邏輯上也有很大的貢獻,跟以後提出連續統假說(Continuum Hypothesis)的反例有很大的關係。

我們來講,雙曲幾何是一個抽象而且跟歐氏空間不一樣的空間。人類第一次發現一個空間,不是我們看到的空間,而是一個抽象的空間,這影響到黎曼的工作。從其他很多科學看來,感覺這像是一件胡鬧的事情,覺得看不到的空間為什麼還要去研究,可是數學家對它花了很多的時間,去研究它的意義,這我們等一下還會看到。

時,我們看到的是三角形的內角和減去180度的時候,在平面幾何時本來應該等於0的。可是在不是平面的時候,這個差會等於曲率和三角形面積的乘積,這是很奇妙、很有意思的恆等式。高斯將它推廣成一條有關曲率的積分公式,叫做高斯-Bonnet定理,高斯-Bonnet定理在現代幾何和拓樸學中非常重要。我的老師陳省身先生(1911-2004)將高斯-Bonnet定理推廣到高維空間,同時因此發展成陳氏類,這個發展在近代時空研究裡面是一個很重要的工作,提供了宏觀的看法。舉例來講,在近代的弦理論裡面,可以看到時空裡的質子數目與陳氏類有關。

們在討論近代的時空一定要有微積分。因為古代的幾何的對象只是平面跟球面,那太侷限了,即使是我們看到的時空都已經不大夠。當我們了解到用無窮逼近的方法去構造一個彎曲的幾何對象時,那就完全不同了。第一個使用逼近方法的數學家是阿基米德(Archimedes, -187--212),在公元前兩百多年他就用這種方法來計算?物線跟直線之間的區域面積,他的計算比現存已知的文章多得多,他基本上具有微分跟積分的觀念,已經完成了微積分最主要的工作,只是當時的物理跟天文背景還沒有成熟,所以沒有迫切的需要將整個微積分全部完成。

著要提一提Apollonius(-262--190)。Apollonius是提出圓錐截面理論的偉大數學家。圓錐截面包括拋物線、雙曲線、橢圓、還有直線等幾何曲線。當時天文學家利用這套理論來發展行星運動的本輪模型(epicycle model)。雖然本輪模型並不是很正確,但是圓錐曲線的理論卻對後世刻卜勒(Kepler, 1571-1630)著名的行星運動定律具有深遠的影響。當時的天文學家利用幾何學跟三角學,將天文學從一大堆雜亂無章的數據,轉化成一門精確的觀測科學,也就是說,公元前兩百多年的天文學家已經曉得數學的威力。

著在時空觀念裡的重要貢獻,來自伽利略(Galileo, 1564-1642)和刻卜勒,他們從行星運動的數據得出來很多重要的工作。刻卜勒利用天文學家Brahe (1546-1601)大量精確的觀測資料,並通過很多的數據分析,終於算出行星的軌道是橢圓。Brahe觀測本來是用地球為參考點的一大堆數字,所以不是很容易看出來是怎麼回事。刻卜勒將它們改成以太陽為參考中心的運動軌跡,長年累月的用算術及三角將這些數據變成以太陽為參考中心的計算。

刻卜勒差不多同時的兩個偉大數學家是費馬(Fermat, 1601-1665)和笛卡兒(Descartes, 1596-1650),他們引進了座標系統。笛卡兒是一個哲學家,是文藝復興時的一個著名哲學家,他在一篇哲學文章的附錄中提出了座標系統的概念。有了座標系統,才能用代數的方法來表示運動的軌跡,這對牛頓以後作天文的計算有很大的幫助。底下是笛卡兒的一段話,他講「我鐵了心,要揚棄抽象的幾何學」,他對抽象的幾何學,也就是歐氏幾何學,他不想再去研究,因為「它探討的問題,除了能夠鍛煉頭腦外,就沒有什麼用處。」笛卡兒要研究「那些以解釋大自然現象為目標的幾何。」也就是他的座標系統。

標幾何的引進,對於幾何的研究是一個很重要的轉捩點。我們現在學解析幾何的時候覺得很容易,可是事實上整個觀念的改變是劃時代的貢獻。有了這個座標系統以後,直線是由線性函數所定義,圓錐截面則由二次函數決定。利用這種代數的方式,刻卜勒的行星運動定律就變得很清楚了,不用花很多功夫去想像。有了座標以後,因為刻卜勒的數據是數字,有了數字代進座標系統就可以了。

標幾何將幾何和代數結合起來,讓我們繞過歐氏公理來研究幾何圖形,這是很重要的事情,讓我們可以用坐標的想法來研究圓、研究直線的圖形。它另外一個很重要的影響,是領導我們進入高維空間。假如沒有座標系統的想法,我們將很難想像高維空間是怎麼回事,有了座標系統,我們才曉得高維空間該怎麼去想像它。

積分的引進,剛才講過是個很偉大的發明。發明的人有兩個,一個是萊布尼茲(Leibniz, 1646-1716),一個是牛頓(Newton, 1643-1727),是差不多同時間的人。萊布尼茲也是個哲學家,他對微積分的引進是很驕傲的,他說 “As God calculates, so the world is made.”(上帝算,天地生。)他認為數字也就是微積分,能夠決定天地、了解天地。

布尼茲的工作是既用代數也用分析的方法來表示的。他利用圖像的辦法、優秀的符號,為微積分創造了一個完整的數學架構。他在1677發表了自己的結果,事實上比牛頓發明微積分晚了十年。但是牛頓的工作,只在少數數學家跟科學家中流傳。因此兩派吵架吵了幾十年,只為了這個誰先發明微積分的事情。

頓的微積分比萊布尼茲更重要的部分,也是最偉大的部分,就是他利用解析幾何和微積分,對天文天體的運動進行了很仔細的計算。利用微積分,他由$\frac{1}{r^2}$的定律推導到行星的運行。這一點可以展現微積分偉大的生命,因為從很基本的定律能夠計算出星體很複雜的運行規律。天體的運行是透過歐氏空間的整體座標系統來描述的,在那裏空間是靜止的,而時間則獨立於空間以外。

著我們要討論牛頓力學內容的意義。物理的真實性屬於我們經驗的範疇。我們看物理是因為我們感覺到它。而科學的目標是尋找這種真實的物理背後的規律跟合理性。牛頓將大量的物理現象用同一個理論框架統一起來。產生了牛頓的三大定律。牛頓的三大定律是有關運動的,像$F=ma$全部是關於運動的。可是運動在什麼地方進行?那進行的地方便叫作空間。牛頓說:「我不想去定義時間、空間、地點跟運動,因為大家都跟它們熟識不過。」事實上,牛頓最迷惑的也就是空間。

頓引進的一個很重要的觀念叫作絕對空間。牛頓宣稱他的時空是絕對的、靜止的,它為整個宇宙提供一個剛性的、永恆不變的舞臺。

"Absolute space, in its own nature and with regard to anything external, always remains similar and unmovable.” (對內對外而言,絕對空間都是相似及不動的。

認為有一個抽象的絕對空間,所有的運動都在這個絕對空間裡去比較。他甚至利用一個旋轉水桶的實驗,來說明絕對空間的存在性,而慣性座標便是在絕對空間裡面靜止的座標。這是一個很偉大的觀念,雖然現在來看是一個不正確的觀念。

布尼茲是一個哲學家,他對牛頓絕對空間的觀念提出異議,他不贊成。可是牛頓力學跟微積分實在是偉大的科學,因為這是一個新工具,它使得物理學家和數學家花很多功夫,利用這個新工具去發展新的學問,沒有時間去重新討論絕對空間的問題,直到十九世紀,對時空的看法才有新的基本改變。在這段時間裡面對幾何學有重大貢獻的是數學家Euler(1707-1783),他是絕對空間概念的忠實信徒。在流體力學裡面有兩個不同的觀點,一個是Lagrange觀點,另一個Euler觀點,這也是因為Euler相信絕對空間的緣故。

下來,現代幾何學或者現代時空觀念的最大轉捩點是從高斯開始,這是因為高斯發覺到一個很重要的事實。古典的幾何學者在討論我們三維空間裡面的曲面時,他們曉得曲面上每一點沿著兩個不同的主要方向有兩個不同的曲率。舉例來講,在一個圓柱上面,一個方向是沿圓來找的,一個方向是直線。圓方向的曲率就是$1/r$,直線方向則是0,它並沒有曲率。高斯發覺這兩個曲率乘起來的乘積有很重要的性質。就是將曲面在空間中變形時,只要沒有拉長它或縮短它,這個乘積是不變的!這個乘積後來就叫作高斯曲率(Gaussian Curvature),是高斯一個很偉大的發明。

斯認為這是他的數學生涯裡面最重要的定理,寫進他的書《曲面通論》裡。他指出曲面所謂的內在性質。什麼叫作曲面的內在性質?就是講,假如我們在曲面上將自己看作很扁的小甲蟲,當這個小甲蟲在曲面上爬來爬去的時候,他體驗到的空間,得出來的空間性質就叫作內在性質。為什麼叫內在呢?因為這個小甲蟲對曲面跟空間的關係並不在乎,也就是講小甲蟲只顧他旁邊遇到的曲面上的幾何,跟外面的空間無關。高斯認為這個內在性質才值得幾何學家不停去研究,去上下求索("most worthy of being diligently explored by geometers")。這種幾何就叫做intrinsic geometry,內蘊幾何。

斯把這件事看得很重要。我們現在解釋一下內蘊幾何的意思。假如我們在一個蘋果削切了片皮,拿出來以後它的高斯曲率基本上是個正的常數;反過來講,如果一個曲面的高斯曲率是正的常數,那它一定是球的一部分。基本上來講,就是一個球面的內蘊幾何是由高斯曲率來決定的。當高斯曲率都等於-1時,就是雙曲幾何,也就是剛才討論歐氏第五公設的那種幾何,也就是剛剛講的高斯、Klein他們討論的抽象幾何。

斯因為他的定理很興奮。他花很多時間去提出跟討論這個定理為什麼這麼重要,可是他遇到困擾。高斯說:

我愈來愈相信,人類的理性並不能證明或理解幾何的必要性。希望後世能對幾何空間的本質有新的洞見,但目前這卻是不可能的事。

他還有一句話很有意思:

當下我們不能把幾何與本質是先驗的算術(也就是數論)相提並論,只適宜將它與力學並列。

高斯本身是一個偉大的數論學家,可是他認為這兩種數學是不一樣的,他認為幾何應該跟力學,也就是物理,相提並論。我要強調,高斯並不是認為數論不重要,而是他認為這是兩個完全不同的科學。

斯很想研究高維空間的內蘊幾何,可是他作不到。在黎曼(Riemann, 1826-1866)很年輕的時候要升教授,在德國當時要當教授以前要有一個就職的演說,他為這次演說提出三個不同的題目,結果高斯挑了第三個題目。黎曼沒有料到高斯挑這個題目,題目就叫做《建構幾何學的假設》,這是一個很有意思的問題,結果黎曼花了兩個多禮拜去準備這一篇文章,他沒想到高斯對這個問題有這麼大的興趣,原來這是因為高斯自己正在研究這個東西,在尋找答案。
  
曼認為這個新的幾何要用無限小的形式,引進了抽象空間。在那裏高斯曲率有了很明顯的涵義。當黎曼引入這個空間的時候,高斯聽了很高興,因為這是一個很有意思的文章、宣言。也因為自從有了黎曼空間之後,使我們終於擺脫了、完完全全擺脫了平坦的歐氏空間,成功的創造出自我生存的抽象的大域空間。

們來看看黎曼在1852年演說提到的幾句話,這幾句話我原來不曉得,是最近這幾個禮拜才看到他的演說的全部內容。他講:

在無窮小區域內幾何諸假設是否真確,與空間尺度關係的本質有關……。

作了好幾個解釋,對我們現在來講是很明顯的,可是他當時的考慮,是要從空間來考慮。

回答這個問題,就必須從這些現象的有關概念入手。這些源於經驗的概念,是先由牛頓所奠基…如此這般,我們便離開了幾何,進入另一門科學,即物理的領域了。

很驚訝看到這一段,因為我一開始以為黎曼引進黎曼幾何和物理完全無關,事實上他是為了研究物理才來考慮這個問題的。當時困擾黎曼和高斯的,除了空間的問題以外,他們兩個也都對電磁學和引力場有很大的興趣,他們寫了兩篇文章完全是對電磁學的研究,他們是在同一段時間考慮同樣的問題。

曼的新發現從根本上改變了數學家對幾何的看法。這種抽象的幾何後來由Christoffel(1829-1900)、Ricci(1853-1925)、Levi-Civita(1873-1941)和Beltrami(1835-1900)研究了流形上的微積分和張量分析。不過對大部分人來講,他們都不大喜歡這個幾何。

在我們來看現代20世紀物理和幾何的關係,等下黎曼幾何會再進來。第一點先談狹義相對論的背景。第一個對牛頓絕對空間提出具建設性質疑的是一個哲學家Mach(1838-1916)。他認為慣性座標受到地球和其他天體的影響,這項假設被稱為Mach原理。差不多同時,一個極重要的事實是Maxwell(1831-1879)發現光是電磁波,光的速度與慣性坐標無關,是一個常數,不管慣性坐標怎麼取,得出來的都是一個常數。不久之後,又發現Maxwell電磁方程以Lorenz變換作為對稱群。這是一個很偉大的發現,愛因斯坦(Einstein, 1879-1955)在他十六歲的時候對這件事情感到興奮,很想討論為什麼會有這種事情。

於在1905年愛因斯坦25歲的時候,他提出了狹義相對論。其中一個重要的環節是,空間和時間終於融合在一起。在1908年,Minkowski(1864-1909)這個偉大的數學家,也是對狹義相對論有很大貢獻的一個物理學家,他說:

Henceforward, space on its own and time on its own will decline into mere shadows, and only a kind of union between the two will preserve its independence.  

也就是說,空間跟時間再也不能夠獨立,所以時間和空間從此以後要融合在一起。

義相對論很快受到物理學家的認同,但其中有一個很重要的問題,就是引力場。由牛頓力學來看的引力場和狹義相對論是矛盾的,因為狹義相對論認為,任何訊息的傳遞不能超過光速;可是牛頓力學裡面是Action at a distance 它傳遞的速度是一瞬間、是無窮快的,這與狹義相對論提到的矛盾。牛頓的Action at a distance是因為它與時間無關。所以愛因斯坦要擺平這個問題,他想了很久,這問題他想了十年。他寫信給Sommerfeld(1868-1951)說:

I am now working exclusively on the gravity problem… one thing is certain – that never in my life have I tormented myself anything like this.。

他花了很多工夫去考慮這個問題。
  
時愛因斯坦了解引力是力場的一種,它使物體加速,由於狹義相對論的要求,在速度平行的方向,速度加快很快很快的話,會使長度加長,因為我們手上的尺會變短,所以量出來的長度較長,在與速度垂直的方向,長度不變,沒有影響。所以發現很重要的一點:長度會在不同的方向和點改變,就是我們用狹義相對論來量一個加速的物體時,長度會對應改變,這正是黎曼幾何的特點;黎曼幾何容許長度在不同方向改變。

同一個時間,愛因斯坦提出了他出名的等價原理,就是講在任何座標裡面,物理的引力場的理論是要成立的,他花了很多時間來加進等價原理才了解到它跟黎曼幾何的關係。他的朋友Grossmann(1878-1936)指出黎曼幾何的重要性,他才明白黎曼度量滿足等價原理,同時黎曼曲率使得度量拉長或縮短,這正是他所需要的一個工具。這個黎曼曲率正的時候會使得度量收縮,負的時候使得長度會拉長。

曼曲率真正具有他需要的特色,就是引力場的特色。黎曼曲率張量的某種組合稱為Ricci張量。他發現這個量正是他需要的量,因為他需要滿足質量守恒定律,而這個質量守恆定律對Ricci張量是滿足的,這是由Bianchi(1856-1928)發現的。愛因斯坦看到這個定律很高興,因此將Ricci張量看作物質的分布,而黎曼曲率本身去描寫引力場。所以最後我們看到引力場可以用黎曼度量來表示。

1916年,愛因斯坦正式宣布廣義相對論的理論,同時他提出兩個計算,就是關於水星近日點的進動問題與光線偏移的計算。1919年英國一個天文學家Eddington(1882-1944)在英國皇家學會宣稱愛因斯坦提出的光線偏移理論被證實,這是他當時在南非藉著日蝕度量成功的。當時的London Times(倫敦時報)頭條新聞說: Revolutions in Science - New theory of the universe - newtonian ideas overthrown. 這成為當時轟動全世界的事情,而愛因斯坦的廣義相對論也被評為人類有史以來最偉大的發現。
  
整個架構來講,我們曉得黎曼幾何是廣義相對論裡面的框架,能夠用時空來跟黎曼幾何連在一起,就等於將幾何與引力渾為一體,不能夠再分開。而因為引力場驅動整個宇宙的改變,時間再也不是一潭靜寂的死水。當天體變動的時候,時空的幾何與拓樸以光的速度在變化,這也是廣義相對論裡重要的部份,也就解決了剛才牛頓力學跟狹義相對論的矛盾。

時愛因斯坦除了受到Mach的影響以外,他還是第一個受到對稱觀念影響的人。Maxwell方程有Lorenz變換的對稱群,他給愛因斯坦創造狹義相對論的靈感。他也用等價原理來看廣義相對論,所以愛因斯坦是第一個看到對稱群在物理學中最重要的物理學家。這影響了整個二十世紀的物理學,因為各種守恆定律都是由對稱群來決定的。等價原理產生了大的對稱群,導致愛因斯坦提出了廣義相對論。

實上數學家比愛因斯坦還要早,就提出了同樣的理論。偉大的數學家Sophus Lie(1842-1899)跟Felix Klein,他們曉得對稱性對幾何基本結構的重要性。在1887年,Klein在德國一個很出名的地方叫Erlanger,他提出了他的教授就職論文,裡面提到:不同的對稱群會引出不同的幾何。這點很有意思,德國的教授在就職前要提出新的綱領,我想在這個年代是做不到的。

多久,Cartan就把Klein的觀點和黎曼幾何結合,創造了纖維叢的連絡理論,關係到後來物理的gauge理論(規範場論)。這是Cartan在1895年的論文寫的,這篇論文比物理學家早了至少五十年,他把Klein的整體對稱群與黎曼幾何連在一起,不但過了五十年對物理很重要,對整個幾何也有很重要的開展。我們對時空的結構通過gauge理論,也就是從Cartan引進的gauge理論局部對稱性,得到很長遠的瞭解。

子力學是對基本粒子很重要的瞭解,這些是自然界力量內的基本建構單位。要研究這些,要利用到electronic spinors(旋子)跟規範場論。這個概念其實從Cartan的群表示理論在幾何裡面就已經開展出來。但是有了Dirac(1902-1984)、有了Hermann Weyl(1885-1955)、有了楊-Mills之後,我們對整個幾何的結構才得到了更豐富的直覺,這種直覺對幾何起了很重要的貢獻。Herman Weyl在1920幾年的時候就研究可交換對稱群的規範場,楊振寧跟Mills在1954年則引進非交換對稱群的規範場。

個量子力學對我們的影響很大,影響我們對時空幾何的認識也很深遠。例如Dirac的spinor跟Seiberg-Witten的理論,都是量子物理的部份。他成為我們研究幾何結構的重要工具,到現在我還驚異於他們對幾何結構的威力。所以我們曉得,量子力學雖然是研究很微觀的工具,但是對大範圍的幾何有很重要的威力。至少五十年來,自從愛因斯坦對統一場論有興趣以後,我們就了解到廣義相對論與量子力學之間,最主要問題是它們互相矛盾。量子力學與光滑的時空不能相容:當空間的尺度小於Plank scale的時候,我們對時空的結構不甚了了。將引力場量子化是很艱鉅的任務,這五、六十年來物理學家建立了很多模型,愛因斯坦生前的夢想就是要將他們統一起來。我們只能講,我們正向這個方向前進。

前最成功的統一場論,引力場論與量子合起來的主要理論,就是弦理論。這個發現當時對物理學家是一個意外,六0年代義大利的物理學家Veneziano,發現某個Euler的函數跟強核力產生的一些現象,從表面上看有很密切的關係。不久以後,有三個物理學家發覺,假如我們假定基本粒子是一個弦,也就是一維而非一點的時候,我們從強粒子理論可以找到Euler函數。所以當時很興奮,以為弦理論可以用來解釋強核力,可是以後強作用力的實驗發現,不循這個方向發展,而且標準模型(standard model)已經足以描述強作用力。所以弦理論不再重要,幾乎銷聲滅跡。

是再過了幾年以後,兩個物理學家Scherk跟Schwarz認為弦學應該包括強粒子和引力子。第一次在弦理論中提出引力場的是這兩位物理學家,但是真正引起理論物理學家注意的,是Green和Schwarz在1984年的一個大發現。他們發覺當弦跟引力場相互作用時,在包括超對稱的量子化過程內,時空的維數必定要是十維。同時在這個時候,由弦理論引起的量子場論,說明其至少在漸進的情形下是收斂的。這點是一個劃時代的貢獻,因為收斂是一個很困難的問題,所有想將引力量子化的嘗試都在不收斂的情形下失敗了。可是他們發覺這是收斂的。因此產生了很多物理學家對弦理論的欣賞與研究。

個很重要的結果是,時空本身的某些奇異點,是可以用弦理論來解釋的。舉例來講,黑洞是一種奇異點。我幾個朋友Greene、Strominger、Morrison,他們找到其中黑洞的模型,發覺就算出現奇異點的時候,弦理論還是有意義的。

們曉得,現實世界我們看到的時空應該是四維的。所以弦理論需要十維,好像是不大對的事情。我們需要有一個方法將十維的時空變成四維,這個方法是由數學家跟物理學家提出來的,一個叫Kaluza;第二個叫Klein,這是在廣義相對論剛剛面世的時候提出來的方法。

為當時愛因斯坦想將電磁場與引力場合併。他們兩位科學家將四維時空加了一維,變成五維。將一條直線加厚成一個圓柱,當柱的橫切面很小時,柱面就變回一條直線了。所以Kaluza、Klein討論五維空間真空狀態的愛因斯坦方程,他們發覺這個方程等價於某個四維時空的引力場與Maxwell方程的合併。這樣子引力場與電磁場就由純引力場統一起來了。愛因斯坦對這個事情很興奮,他以後在考慮這個問題時,又多了一個數量場。但是這個多了的數量場,實驗上無法找到,所以最後還是放棄了。可是這個多出來的數量場,在弦理論裡面有解釋。

弦理論裡面,時空是十維的。我們用同樣的方法,將四維加入六維,加入的六維空間變得很小,簡直可以將十維空間變為四維空間,這部分是用Kaluza和Klein的想法來作的。可是這個六維空間是什麼東西呢?弦理論因為當能量很高的時候,玻色子與費米子是一一對應的,也就是所謂的超對稱。時空裡面希望能夠具有超對稱,假如有超對稱的話,那內在的六維空間就要滿足一些條件。

是由四個物理學家,也是我的朋友所發現的。他們發現空間一定有複結構的真空方程,1984年的時候他們發覺,這個空間是我在1976年構造的流形,後來他們叫這個空間Calabi-丘空間。這個空間我們剛開始創造的時候,是為了做代數幾何等其他方面的工作提出來的,也是為了微分幾何。做這個空間的時候,我個人覺得它跟廣義相對論有關,可是沒想到滿足了弦理論的要求。也因為弦學家對這個空間的要求,這二十多年來,我們在這個空間裡有很多很有意思的成果,尤其是在數學上的成果。我們曾經研究過這個空間的許多模型,在弦理論來講,這是一個基本的模型,可以用來計算粒子的重量、電荷,也可以藉這個空間的變化來考慮黑洞與宇宙的模型。

是時空遠比這個更複雜,從微觀的觀點這還不是最終極的形式,很多弦學家認為這是一個逼近的微觀空間,在此空間上還有許多美妙的對偶性,對計算量子場論幫助很大,也因此為對偶性,微觀的量子場和大空間的量子場是同構的,這個對稱基本上和Heisenberg的不確定性原理是等價的。所以量子力學加上時空,我們不知道最後的時空會是什麼樣子,但是這已經在數學的代數幾何上引入革命性的貢獻,這一點我沒辦法多談。

1984年到1995年之間,弦學家發現很多不同的弦學模型,例如Witten的M理論、Polchinski的膜理論,其中幾何與時空不斷的聯繫在一起,最近幾年還有所謂的矩陣模式、Vafa的量子時空泡沫,現在相當多人認為時空概念將有革命性的變化,至於怎麼變化,誰也不曉得。

理和幾何的關係,讓我引Schwarz的一段話:

the mathematical structure of string theory was so beautiful and had so many miraculous properties that it had to be pointing toward something deep.

所有的幾何學家和弦學家都是這樣相信的。

於時間的關係,我今天只介紹的這邊,最後我引兩段話

天地與我並生,萬物與我為一。(莊子)
創思雖是漫漫長夜中的靈光一閃,但,這便是一切。(龐加萊)

我們在每一次進步的時刻都花了很多功夫,但生出理論之後,就有其重要性。

2005年11月15日

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